Giải bài 4. 25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Kết nối tri thức Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân - SBT Toán 12 K


Giải bài 4.25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường (y = sqrt x ,y = frac{{{x^2}}}{8},x = 0,x = 4). a) Tính diện tích hình phẳng; b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.

Đề bài

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = \frac{{{x^2}}}{8},x = 0,x = 4\).

a) Tính diện tích hình phẳng;

b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Xác định xem hàm số nào có đồ thị nằm phía trên với \(x \in \left[ {0;4} \right]\). Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích.

Ý b: Tính lần lượt thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = 4\)quanh trục Ox và thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{8},y = 0,x = 0,x = 4\) quanh trục Ox. Lấy hiệu hai thể tích vừa tính ta tìm được thể thể tích theo yêu cầu, tuy nhiên ta cần xác định xem lấy thể tích nào trừ thể tích còn lại phụ thuộc vào các đồ thị.

Lời giải chi tiết

a) Ta có hình biểu diễn diện tích hình phẳng cần tìm như sau:

Ta thấy đồ thị \(y = \sqrt x \) nằm phía trên \(y = \frac{{{x^2}}}{8}\).

Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^4 {\left( {\sqrt x  - \frac{{{x^2}}}{8}} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{2}{3}x\sqrt x  - \frac{{{x^3}}}{{24}}} \right)} \right|_0^4 = \frac{8}{3}\).

b) Thể tích khi xoay các đường \(y = \sqrt x ,y = 0,x = 0,x = 4\) quanh trục Ox là

\({V_1} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx}  = \pi \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^4 = 8\pi \).

Thể tích khi xoay các đường \(y = \frac{{{x^2}}}{8},y = 0,x = 0,x = 4\) quanh trục Ox là

\({V_2} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\frac{{{x^2}}}{8}} \right)}^2}dx}  = \pi \left. {\frac{{{x^5}}}{{320}}} \right|_0^4 = \frac{{16}}{5}\pi \).

Thể tích cần tìm là \(V = {V_1} - {V_2} = 8\pi  - \frac{{16}}{5}\pi  = \frac{{24}}{5}\pi \).


Cùng chủ đề:

Giải bài 4. 20 trang 13 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 21 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 22 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 23 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 24 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 25 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 26 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 27 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 28 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 29 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4. 30 trang 18 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức