Giải bài 4. 7 trang 45 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $\widehat A = {30^o}$. Tia Bt sao cho $\widehat {CBt} = {30^o}$ cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng $\frac{{AB}}{4}$.

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại B nên $\widehat C = {90^o} - \widehat A = {60^o}$.

Tam giác BCD có: $\widehat {BDC} = {180^o} - \widehat {DBC} - \widehat C = {90^o}$. Do đó, tam giác BCD vuông tại D.

Suy ra, $\frac{{BD}}{{AB}} = \sin \widehat {BAD} = \sin {30^o} = \frac{1}{2}$

Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D lên BC thì DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.

Trong tam giác BDE vuông tại E có: $\frac{{DE}}{{BD}} = \sin \widehat {DBE} = \sin {30^o} = \frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BD}}.\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$, suy ra $DE = \frac{{AB}}{4}$.