Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: $1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} = \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi $n = 1$ ta có $1 = \frac{{1 - {q^1}}}{{1 - q}}$ hiển nhiên đúng với $q \ne 1$

Như vậy đẳng thức đúng với $n = 1$

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà đẳng thức đúng, ta phải chứng minh đẳng thức đúng với k+1, tức là:

$1 + q + {q^2} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

$1 + q + {q^2} + ... + {q^{k - 1}} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}}$

Suy ra

$\begin{array}{l}1 + q + {q^2} + ... + {q^{k - 1}} + {q^k} = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + {q^k}\\ = \frac{{1 - {q^k}}}{{1 - q}} + \frac{{{q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^k} + {q^k} - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {q^{k + 1}}}}{{1 - q}}\end{array}$

Vậy đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$.