Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ . Tìm tọa độ điểm $M \in \left( E \right)$ sao cho độ dài ${F_2}M$ lớn nhất, biết ${F_2}$ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E)

Đề bài

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ . Tìm tọa độ điểm $M \in \left( E \right)$ sao cho độ dài ${F_2}M$ lớn nhất, biết ${F_2}$ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ $(0 < b < a)$

+ Độ dài bán kính qua tiêu của điểm $M(x,y)$ trên (E) là: $M{F_1} = a + \frac{c}{a}x;M{F_2} = a - \frac{c}{a}x.$

$M{F_1}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = - a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = a$

$M{F_2}$ có giá trị nhỏ nhất là $a - c$ khi $x = a$ và có giá trị lớn nhất là $a + c$ khi $x = - a$

Lời giải chi tiết

Elip có phương trình $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow a = 5,b = 3$

Ta có: $c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {25 - 9} = 4$

Gọi tọa độ của $M(x,y)$ , ta có: $M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 5 - \frac{4}{5}x$

Vì $- 5 \le x \le 5$ hay $- 5 \le - x \le 5$ nên $5 + \frac{4}{5}\left( { - 5} \right) \le 5 + \frac{4}{5}( - x) \le 5 + \frac{4}{5}.5$ $\Leftrightarrow 5 - 4 \le M{F_2} \le 5 + 4 \Leftrightarrow 1 \le M{F_2} \le 9$