Giải bài 4 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Xác định hệ số của:

a) ${x^{12}}$ trong khai triển của biểu thức ${(x + 4)^{30}}$

b) ${x^{10}}$ trong khai triển của biểu thức ${(3 + 2x)^{30}}$

c) ${x^{15}}$ và ${x^{16}}$ trong khai triển của biểu thức ${\left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{1}{7}} \right)^{51}}$

Lời giải chi tiết

a) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${(x + 4)^{30}} = C_{30}^0{x^{30}} + C_{30}^1{x^{29}}{4^1} + ... + C_{30}^k{x^{30 - k}}{4^k} + ... + C_{30}^{30}{4^{30}}$

Số hạng chứa ${x^{12}}$ ứng với $30 - k = 12 \Rightarrow k = 18$. Do đó hệ số của ${x^{12}}$  là

$C_{30}^{18}{4^{18}}$

b) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${(3 + 2x)^{30}} = C_{30}^0{3^{30}} + C_{30}^1{3^{29}}{\left( {2x} \right)^1} + ... + C_{30}^k{3^{30 - k}}{\left( {2x} \right)^k} + ... + C_{30}^{30}{\left( {2x} \right)^{30}}$

Số hạng chứa ${x^{10}}$ ứng với $k = 10$. Do đó hệ số của ${x^{10}}$  là

$C_{30}^{10}{3^{20}}{2^{10}}$

c) Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${\left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{1}{7}} \right)^{51}} = C_{51}^0{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{51}} + C_{51}^1{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{50}}{\left( { - \frac{1}{7}} \right)^1} + ... + C_{51}^k{\left( {\frac{{2x}}{3}} \right)^{51 - k}}{\left( { - \frac{1}{7}} \right)^k} + ... + C_{51}^{51}{\left( { - \frac{1}{7}} \right)^{51}}$

Số hạng chứa ${x^{15}}$ ứng với $51 - k = 15 \Leftrightarrow k = 36$. Do đó hệ số của ${x^{15}}$  là

$C_{51}^{15}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{15}}{\left( { - \frac{1}{7}} \right)^{36}}$

Số hạng chứa ${x^{16}}$ ứng với $51 - k = 16 \Leftrightarrow k = 35$. Do đó hệ số của ${x^{16}}$  là

$C_{51}^{16}{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{16}}{\left( { - \frac{1}{7}} \right)^{35}}$