Giải bài 44 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 1$, ${u_n} = \frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$, $n \ge 2$. Đặt ${v_n} = {u_n} - \frac{3}{2}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.

a)    Chứng minh rằng dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b)    Tìm công thức số hạng tổng quát của $\left( {{u_n}} \right)$, $\left( {{v_n}} \right)$.

c)     Tính tổng $S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}}$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\left( {{v_n}} \right)$, ta có $\frac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}} = \frac{{{u_n} - \frac{3}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n - 1}} + 1 - \frac{3}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}{u_{n - 1}} - \frac{1}{2}}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{{\frac{1}{3}\left( {{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}} \right)}}{{{u_{n - 1}} - \frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}$.

Như vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{3}$ và số hạng đầu ${v_1} = {u_1} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} =  - \frac{1}{2}$.

b) Do $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân, ta có ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{2}.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}$.

Suy ra ${u_n} = {v_n} + \frac{3}{2} = \frac{{ - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}} + \frac{3}{2} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{{2.3}^{n - 1}}}}$.

c) Ta có:

$S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{10}} = \left( {{u_1} - \frac{3}{2}} \right) + \left( {{u_2} - \frac{3}{2}} \right) + ... + \left( {{u_{10}} - \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2}.10$

$= {v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{10}} + 5 = {v_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} + 5 = \frac{{ - 1}}{2}.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} + 5 = \frac{{280483}}{{19683}}$.