Giải bài 44 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật, $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$, $\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$. Giả sử $SA = 5a$, $AB = 3a$, $AD = 4a$ và góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\varphi$. Tính $\cos \varphi$.

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Dễ dàng chứng minh được $SH$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBM} \right)$. Hơn nữa, do $\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ và $\left( {SBM} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$, ta suy ra $SH \bot \left( {ABCD} \right)$, tức $H$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$.

Do đó góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ chính là góc $\widehat {SAH}$, tức là $\varphi  = \widehat {SAH}$. Suy ra $\cos \varphi  = \cos \widehat {SAH} = \frac{{AH}}{{SA}}$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật, nên $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {4a} \right)}^2}}  = 5a$.

Ta có $AM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}.4a = 2a$.

Do $AM\parallel BC$, ta suy ra $\frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{BC}} = \frac{{2a}}{{4a}} = \frac{1}{2}$. Như vậy $\frac{{AH}}{{AC}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra $AH = \frac{{AC}}{3} = \frac{{5a}}{3}$.

Do đó $\cos \varphi  = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{5a}}{3}}}{{5a}} = \frac{1}{3}$.