Giải bài 46 trang 92 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \)
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H , O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O . Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Lấy E đối xứng với A qua O
Bước 2: Chứng minh các tứ giác ADEH , BHCE là hình bình hành
Bước 3: Áp dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \)
Lời giải chi tiết
Gọi E là điểm đối xứng với A qua O . Khi đó AE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
Tứ giác ADEH có O là trung điểm HD và AE nên là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {HD} \)(1)
Lại có: \(\widehat {ACE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACE} = {90^0}\)\( \Rightarrow EC \bot AC\), mà \(BH \bot AC\)
\( \Rightarrow EC//BH\)
Chứng minh tương tự ta có \(BE//HC\)
Tứ giác BHCE có \(EC//BH\), \(BE//HC\) nên là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HE} \)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {HD} \) (ĐPCM)