Giải bài 46 trang 92 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh →HA+→HB+→HC=→HD
Đề bài
Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H , O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O . Chứng minh →HA+→HB+→HC=→HD
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Lấy E đối xứng với A qua O
Bước 2: Chứng minh các tứ giác ADEH , BHCE là hình bình hành
Bước 3: Áp dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh →HA+→HB+→HC=→HD
Lời giải chi tiết
Gọi E là điểm đối xứng với A qua O . Khi đó AE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
Tứ giác ADEH có O là trung điểm HD và AE nên là hình bình hành
⇒→HA+→HE=→HD(1)
Lại có: ^ACE là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^ACE=900⇒EC⊥AC, mà BH⊥AC
⇒EC//BH
Chứng minh tương tự ta có BE//HC
Tứ giác BHCE có EC//BH, BE//HC nên là hình bình hành
⇒→HB+→HC=→HE(2)
Từ (1) và (2) suy ra →HA+→HB+→HC=→HA+→HE=→HD (ĐPCM)