Giải bài 5. 25 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và \(B\left( { - 1; - 2;3} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc thuộc trục Ox và (S) đi qua hai điểm A và B.

Lời giải chi tiết

Do I thuộc trục Ox nên I có tọa độ \(\left( {a;0;0} \right)\).

(S) đi qua hai điểm A và B suy ra I nằm trên đường trung trực của cạnh AB.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 4;2} \right)\)

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB.

Khi đó d đi qua trung điểm \(M\left( {0;0;2} \right)\) của cạnh AB và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương

(do \(\overrightarrow n  \bot \overrightarrow {AB} \)).

Phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 2 + t\end{array} \right.\). Do \(I \in d\) nên thay \(I\left( {a;0;0} \right)\) vào d ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = t\\0 = 0\\0 = 2 + t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = t\\t =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow a =  - 2 \Rightarrow I\left( { - 2;0;0} \right)\). Bán kính mặt cầu (S) là \(R = IA = \sqrt {9 + 4 + 1}  = \sqrt {14} \).

Suy ra (S): \({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 14\).