Giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)
Đề bài
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)
a) Tính \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) theo n.
b) Tính \({u_n}\) theo n.
c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n}\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
Ta có: \({v_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Do đó, \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = 2\left( {\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}}} \right) = 3.\left( {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)\)
Mặt khác:
\({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = {u_{n + 1}} - {u_1} = {u_{n + 1}} - 2\)
Vậy \({u_n} = 3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2\)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{5.3}^n} - 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{5 - \frac{1}{{{3^n}}}}}{1} = 5\)