Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều — Không quảng cáo

SBT Toán 12 - Giải SBT Toán 12 - Cánh diều Bài 1. Vecto và các phép toán vecto trong không gian


Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D'). Góc giữa hai vectơ (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {DA'} ) bằng: A. ({30^ circ }). B. ({45^ circ }). C. ({120^ circ }). D. ({60^ circ }).

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} \) bằng:

A. \({30^ \circ }\)

B. \({45^ \circ }\)

C. \({120^ \circ }\)

D. \({60^ \circ }\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Cách xác định góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \): \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\) với \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \).

‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

Lời giải chi tiết

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA'}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {DA'}  =  - \left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {DA'} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right) =  - AC.A'D.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {CB'}  = \overrightarrow {DA'} \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \widehat {ACB'}\).

Xét tam giác \(ACB'\) có \(AC,AB',B'C\) đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.

Do đó \(AC = AB' = B'C\). Vậy tam giác \(ACB'\) đều.

Suy ra \(\left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \widehat {ACB'} = {60^ \circ }\).

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA'}  =  - AC.A'D.\cos {60^ \circ } =  - \frac{1}{2}AC.A'D\).

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DA'} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {DA'} } \right|}} = \frac{{ - \frac{1}{2}AC.A'D}}{{AC.A'D}} =  - \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DA'} } \right) = {120^ \circ }\).

Chọn C.


Cùng chủ đề:

Giải bài 4 trang 87 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 4 trang 91 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 5 trang 8 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 5 trang 11 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 5 trang 46 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 5 trang 88 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 5 trang 91 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 6 trang 8 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 6 trang 11 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Giải bài 6 trang 47 sách bài tập toán 12 - Cánh diều