Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hình lập phương (ABCD.A'B'C'D'). Góc giữa hai vectơ (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {DA'} ) bằng: A. ({30^ circ }). B. ({45^ circ }). C. ({120^ circ }). D. ({60^ circ }).
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Góc giữa hai vectơ →AC,→DA′ bằng:
A. 30∘
B. 45∘
C. 120∘
D. 60∘
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Cách xác định góc giữa hai vectơ →a,→b: (→a,→b)=(→OA,→OB) với →OA=→a,→OB=→b.
‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: cos(→a,→b)=→a.→b|→a|.|→b|.
Lời giải chi tiết
→AC.→DA′=−→CA.→DA′=−|→CA|.|→DA′|.cos(→CA,→DA′)=−AC.A′D.cos(→CA,→DA′)
Ta có: →CB′=→DA′
⇒(→CA,→DA′)=(→CA,→CB′)=^ACB′.
Xét tam giác ACB′ có AC,AB′,B′C đều là các đường chéo của các hình vuông là các mặt của hình lập phương.
Do đó AC=AB′=B′C. Vậy tam giác ACB′ đều.
Suy ra (→CA,→DA′)=^ACB′=60∘.
→AC.→DA′=−AC.A′D.cos60∘=−12AC.A′D.
Ta có: cos(→AC,→DA′)=→AC.→DA′|→AC|.|→DA′|=−12AC.A′DAC.A′D=−12.
Vậy (→AC,→DA′)=120∘.
Chọn C.