Giải Bài 50 trang 83 sách bài tập Toán 6 - Cánh diều
Cho bảng gồm 2 015 x 2015 ô vuông nhỏ (Hình 9). Điền vào mỗi ô của hàng số 1 hoặc số -1. Bên trái mỗi dòng thứ i ghi tích các số của dòng đó và đặt là xi . Dưới mỗi cột thứ j ghi tích các số của cột đó và đặt là yj . (i = 1;2;3;…2 015 và j = 1;2;3;…; 2 015) Chứng tỏ rằng tổng của 4030 số xi; yj nhận được khác 0
Đề bài
Cho bảng gồm 2 015 x 2015 ô vuông nhỏ (Hình 9).
Điền vào mỗi ô của hàng số 1 hoặc số -1.
Bên trái mỗi dòng thứ i ghi tích các số của dòng đó và đặt là x i . Dưới mỗi cột thứ j ghi tích các số của cột đó và đặt là y j .
(i = 1;2;3;…2 015 và j = 1;2;3;…; 2 015)
Chứng tỏ rằng tổng của 4030 số x i ; y j nhận được khác 0
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta giả sử tổng của 4030 số x i ; y j nhận được = 0. Ta sẽ đi chứng minh điều giả sử này là sai
Lời giải chi tiết
Giả sử tổng của 4030 số x i ; y j nhận được = 0
Ta có: x 1 + x 2 +…+ x 2015 + y 1 + y 2 +…+y 2015 =0; x i , y j đều bằng 1 hoặc -1. Do vậy, số vị trí nhận giá trị 1 bằng số vị trí nhận giá trị -1. Ta được, trong 4030 số x i ; y j thì có 2015 số bằng 1 và 2015 số bằng -1.
Tích x 1 x 2 ….x 2015 .y 1 .y 2 …y 2015 = -1 (*)
Mà x 1 x 2 ….x 2015 = y 1 .y 2 …y 2015 (đều là tích các số trong bảng) nên x 1 x 2 ….x 2015 .y 1 .y 2 …y 2015 = (x 1 x 2 ….x 2015 ) 2 =1 (mâu thuẫn với (*))
Vậy tổng của 4030 số x i ; y j là khác 0