Giải bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 tập 2 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB = a$, $O$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$, $SO = a$. Gọi $M$ là hình chiếu của $O$ trên $CD$ (xem hình dưới).

a) Đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $\left( {SAB} \right)$

B. $\left( {SAD} \right)$

C. $\left( {SBC} \right)$

D. $\left( {SBD} \right)$

b) Số đo của góc nhị diện $\left[ {A,SO,M} \right]$ bằng:

A. ${30^o}$

B. ${45^o}$

C. ${135^o}$

D. ${150^o}$

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SO$ và $BC$ bằng:

A. $a$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

d) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A. ${a^3}$

B. $\frac{{{a^3}}}{2}$

C. $\frac{{{a^3}}}{3}$

D. $3{a^3}$

e) Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left( {SOM} \right)$ bằng:

A. $a$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

g) Côtang của góc giữa đường thẳng $SM$ và $\left( {ABCD} \right)$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $2$

C. $1$

D. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Lời giải chi tiết

a) Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều, ta suy ra $ABCD$ là hình vuông. Điều này suy ra $AC \bot BD$.

Hơn nữa, do $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SO \bot AC$.

Như vậy, do $AC \bot BD$, $SO \bot AC$ nên $AC \bot \left( {SBD} \right)$

Đáp án đúng là D.

b) Do $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, ta suy ra $SO \bot AO$ và $SO \bot OM$. Do đó, góc $\widehat {AOM}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[ {A,SO,M} \right]$.

Do $M$ là trung điểm của $CD$, và tam giác $COD$ vuông cân tại $O$, ta suy ra $\widehat {MOD} = {45^o}$ và $OM \bot CD$. Do đó $\widehat {AOM} = \widehat {AOD} + \widehat {MOD} = {90^o} + {45^o} = {135^o}$.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[ {A,SO,M} \right]$ là ${135^o}$.

Đáp án đúng là C.

c) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Tam giác $OBC$ vuông cân tại $O$, nên ta có $ON \bot BC$. Hơn nữa, do $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, nên $SO \bot ON$.

Vậy $ON$ là đường vuông góc chung của $SO$ và $BC$, do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $SO$ và $BC$ là đoạn thẳng $ON$.

Dễ dàng chứng minh được $ON = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$, vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SO$ và $BC$ bằng $\frac{a}{2}$.

Đáp án đúng là B.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}A{B^2}.SO = \frac{1}{3}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{3}$.

Đáp án đúng là C.

e) Do $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, ta suy ra $SO \bot CM$, mà theo câu b, ta suy ra $CM \bot OM$.

Từ đó ta có $CM \bot \left( {SOM} \right)$. Như vậy $M$ là hình chiếu của $C$ trên $\left( {SOM} \right)$, từ đó khoảng cách từ $C$ đến $\left( {SOM} \right)$ là đoạn thẳng $CM$. Do $CM = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$, nên khoảng cách từ $C$ đến $\left( {SOM} \right)$ bằng $\frac{a}{2}$.

Đáp án đúng là B.

g) Do $O$ là hình chiếu của $S$ trên $\left( {ABCD} \right)$, ta suy ra góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là góc $\widehat {SMO}$.

Ta có $\cot \widehat {SMO} = \frac{{OM}}{{SO}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{a} = \frac{1}{2}$.

Vậy côtang của góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng $\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là A.