Giải bài 59 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $AD$ ; $P$ , $Q$

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ , $AD$ ; $P$ , $Q$ lần lượt thuộc các cạnh $CD$ , $BC$ ( $P$ , $Q$ không trùng với $B$ , $C$ , $D$ ). Chứng minh rằng nếu $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ cùng thuộc một mặt phẳng thì $PQ$ song song với $BD$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chỉ ra rằng $MN\parallel BD$ , từ đó ta xét thấy hai mặt phẳng $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ chứa hai đường thẳng song song nên giao tuyến của chúng cũng song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$ , $N$ là trung điểm của $AD$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ . Suy ra $MN\parallel BD$ .

Xét hai mặt phẳng $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ , ta có $MN\parallel BD$ , $MN \subset \left( {MNPQ} \right)$ , $BD \subset \left( {BCD} \right)$ nên giao tuyến của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ nếu tồn tại sẽ song song hoặc trùng với $BD$ .

Mặt khác, ta thấy $P$ và $Q$ là hai điểm chung của $\left( {MNPQ} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ , nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng $PQ$ . Hơn nữa, do $P$ khác $C$ và $P$ khác $D$ nên ta suy ra $PQ\parallel BD$ .