Giải bài 59 trang 58 sách bài tập toán 11 - Cánh diều — Không quảng cáo

Đề bài

Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại.

a)    Tính tổng diện tích phần đã được tô màu ở hình thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

b)    Dự đoán công thức tính tổng diện tích đã tô màu ở hình thứ $n$.

Lời giải chi tiết

a) Diện tích phần đã tô màu ở hình thứ nhất là $\frac{1}{9} = 1 - \frac{8}{9}$

Xét các hình vuông nhỏ trong hình thứ nhất, diện tích mỗi hình là $\frac{1}{9}$, ta tô màu $\frac{1}{9}$ mỗi hình vuông đó. Diện tích được tô màu ở mỗi hình vuông nhỏ đó là $\frac{1}{9}.\frac{1}{9} = \frac{1}{{81}}$. Suy ra diện tích được tô màu ở hình vuông thứ hai là $8.\frac{1}{{81}} + \frac{1}{9} = \frac{{17}}{{81}} = 1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^2}$

Tương tự, diện tích phần được tô màu ở hình vuông thứ ba là

$64.\frac{1}{{729}} + \frac{{17}}{{81}} = \frac{{217}}{{729}} = 1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^3}$

b) Từ các kết quả trên, ta có thể dự đoán công thức tính diện tích phàn tô màu ở hình thứ $n$ là ${S_n} = 1 - {\left( {\frac{8}{9}} \right)^n}$