Giải bài 6. 22 trang 27 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Cho từ giác ABCD có $AB \bot CD;AB = 2;BC = 13;CD = 8;DA = 5$ (H.6.21). Gọi H là giao điểm của AB và CD và đặt x=AH. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài x, từ đó tính diện tích tứ giác ABCD

Lời giải chi tiết

Ta có :AH=x (x>0)

Xét tam giác AHD vuông ở H, ta có:

$A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \Leftrightarrow H{D^2} = A{D^2} - A{H^2} = 25 - {x^2}$

$\Rightarrow HD = \sqrt {25 - {x^2}}$

Ta có: $HC = HD + DC = \sqrt {25 - {x^2}}  + 8$

$HB = AH + AB = x + 2$

Xét tam giác HBC vuông tại H, ta có:

$\begin{array}{l}B{C^2} = H{B^2} + H{C^2}\\ \Leftrightarrow {13^2} = {(x + 2)^2} + {\left( {\sqrt {25 - {x^2}}  + 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 169 = {x^2} + 4x + 4 + 25 - {x^2} + 16\sqrt {25 - {x^2}}  + 64\\ \Leftrightarrow 16\sqrt {25 - {x^2}}  =  - 4x + 76\\ \Leftrightarrow 4\sqrt {25 - {x^2}}  =  - x + 19\end{array}$

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

$\begin{array}{l}16(25 - {x^2}) = {x^2} - 38x + 361\\ \Leftrightarrow 17{x^2} - 38x - 39 = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow x = 3$ hoặc $x = \frac{{ - 13}}{{17}}$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình, ta thấy hai giá trị đều thỏa mãn

Do x>0 nên ta chọn x=3 => AH=3

$\begin{array}{l}HD = \sqrt {25 - {3^2}}  = 4\\HC = 4 + 8 = 12\\HB = 3 + 2 = 5\end{array}$

Diện tích tam giác HAD là ${S_1} = \frac{1}{2}.HA.HD = \frac{1}{2}.3.4 = 6$

Diện tích tam giác HBC là ${S_2} = \frac{1}{2}.HB.HC = \frac{1}{2}.5.12 = 30$

Vậy diện tích tứ giác ABCD là $S = {S_2} - {S_1} = 30 - 6 = 24$