Giải bài 6. 41 trang 15 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

a) Rút gọn biểu thức $P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: $x \ne 0;x \ne  - 2$

$P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{x + 2 - {x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$$= \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}$

$= \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x} = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) - {x^2} - 6x - 4}}{x}$

$= \frac{{ - {x^3} - {x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x} = \frac{{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x}}{x}$$= \frac{{ - x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{x} =  - {x^2} - 2x - 2$

b) Ta có: $P =  - {x^2} - 2x - 2 =  - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 1 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le  - 1.$

Dấu “=” xảy ra khi $x + 1 = 0$ hay $x =  - 1$

Vậy giá trị lớn nhất của P là -1 tại $x =  - 1$