Giải bài 6 trang 15 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}$;

b) $\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} = \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\sin {605^0}$ $= \sin \left( {{{2.360}^0} - {{115}^0}} \right)$ $= \sin \left( { - {{115}^0}} \right)$ $=  - \sin \left( {{{180}^0} - {{65}^0}} \right)$ $=  - \sin {65^0}$

$\sin {1645^0}$ $= \sin \left( {{{4.360}^0} + {{180}^0} + {{25}^0}} \right)$ $=  - \sin {25^0}$ $=  - \sin \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right)$ $=  - \cos {65^0}$

$\cot {25^0}$ $= \cot \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right)$ $= \tan {65^0}$

Do đó, ${\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0}$ $= {\sin ^2}{65^0} + {\cos ^2}{65^0} + {\tan ^2}{65^0}$

$= 1 + {\tan ^2}{65^0}$ $= \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}$

b) Ta có: $\sin {530^0}$ $= \sin \left( {{{3.180}^0} - {{10}^0}} \right)$ $= \sin {10^0}$,

$\sin {640^0}$ $= \sin \left( {{{4.180}^0} - {{80}^0}} \right)$ $=  - \sin {80^0}$ $=  - \sin \left( {{{90}^0} - {{10}^0}} \right)$ $=  - \cos {10^0}$

Do đó, $\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}}$ $= \frac{{\sin {{10}^0}}}{{1 - \cos {{10}^0}}}$ $= \frac{{{{\sin }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}$

$= \frac{{1 - {{\cos }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}$ $= \frac{{\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)\left( {1 + \cos {{10}^0}} \right)}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}$ $= \frac{{1 + \cos {{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}}}$ $= \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}$