Giải bài 6 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng, cho đa giác${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$ có n cạnh $(n \ge 3)$. Gọi ${S_n}$ là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính ${S_3},{S_4},{S_5}$ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính ${S_n}$ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{l}{S_3} = {180^ \circ }\\{S_4} = {180^ \circ } + {180^ \circ } = {2.180^ \circ }\\{S_5} = {2.180^ \circ } + {180^ \circ } = {3.180^ \circ }\end{array}$

b) Dự đoán ${S_n} = (n - 2){.180^ \circ }$ với mọi $n \ge 3$.

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 3$ ta có ${S_3} = {180^ \circ }$

Vậy công thức đúng với $n = 3$

Giả sử công thức đúng với $n = k$ nghĩa là có ${S_k} = (k - 2){.180^ \circ }$

Ta chứng minh công thức đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh  ${S_{k + 1}} = (k - 1){.180^ \circ }$

Thật vậy, ta có

Xét đa giác k+1 cạnh: ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_k}{A_{k + 1}}$. Kẻ đường chéo ${A_1}{A_k}$, chia đa giác này thành đa giác ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_k}$ k cạnh và tam giác ${A_1}{A_k}{A_{k + 1}}$. Khi đó tổng các góc trong của đa giác k+1 cạnh ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_k}{A_{k + 1}}$ bằng tổng các góc trong cả đa giác k cạnh ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_k}$ và tam giác ${A_1}{A_k}{A_{k + 1}}$

Do đó: ${S_{k + 1}} = {S_k} + {S_3} = (k - 2){.180^ \circ } + {180^ \circ } = (k - 1){.180^ \circ }$

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 3$.