Giải bài 61 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = - x + 3 - frac{5}{{2x + 1}}) là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Đề bài
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=−x+3−52x+1 là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính lim hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty
thì đường thẳng x = {x_0} là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0} hoặc \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0} thì đường thẳng y = {y_0} là đường tiệm cận ngang.
Lời giải chi tiết
y = - x + 3 - \frac{5}{{2x + 1}} = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}}
Hàm số có tập xác định là \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}.
Ta có:
• \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = - \infty
Vậy x = - \frac{1}{2} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = + \infty
Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.
• a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{x\left( {2x + 1} \right)}} = - 1 và
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 5{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{6{\rm{x}} - 2}}{{2x + 1}} = 3
Vậy đường thẳng y = - x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy hàm số có 2 đường tiệm cận.
Chọn B.