Giải bài 62 trang 26 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số (y = frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}}). a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng (x = - 1). b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng (y = - 1). c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng (y = - x). d) Giao điểm (I) của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là (Ileft( { - 1;1} right)).

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}}$ .

a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ .

b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = - 1$ .

c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = - x$ .

d) Giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là $I\left( { - 1;1} \right)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)$ , nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty$

thì đường thẳng $x = {x_0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ thì đường thẳng $y = {y_0}$ là đường tiệm cận ngang.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ :

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]$ hoặc

$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}$ và $b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]$

Lời giải chi tiết

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ .

Ta có:

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}} = + \infty$

Vậy $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Vậy a) đúng.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}} = + \infty$

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang. Vậy b) sai.

• $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3}}{{x\left( { - x - 1} \right)}} = - 1$ và

$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 3}}{{ - x - 1}} + x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 3}}{{ - x - 1}} = 1$

Vậy đường thẳng $y = - x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Vậy c) sai.

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là $I\left( { - 1;2} \right)$ . Vậy d) sai.

a) Đ.

b) S.

c) S.

d) S.