Giải bài 7.11 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC nhọn
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) BC⊥(SAH) và các đường thẳng AH,BC,SK đồng quy;
b) SB⊥(CHK) và HK⊥(SBC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chỉ ra BC⊥SA,BC⊥AH nên BC⊥(SAH).
Gọi M là giao điểm của AH và BC
Chứng minh BC⊥AH,BC⊥SM suy ra S,K,M thẳng hàng
Do đó, SK,AH,BC đồng quy tại M.
b) Chỉ ra CH⊥SB, SB⊥CK rồi suy ra SB⊥(CHK).
Từ đó ta có SB⊥HK, tương tự, ta chứng minh được SC⊥(BHK), suy ra SC⊥HK. Do đó HK⊥(SBC).
Lời giải chi tiết
a) Chỉ ra BC⊥SA,BC⊥AH nên BC⊥(SAH).
Gọi M là giao điểm của AH và BCCH⊥AB
Ta có: BC⊥(SAM), suy ra BC⊥SM, mà K là trực tâm của tam giác SBC nên SM đi qua K.
Do đó, SK,AH,BC đồng quy tại M.
b)
Vì SA⊥(ABC) nên SA⊥CH, mà , suy ra CH⊥(SAB).
Do đó CH⊥SB, lại có SB⊥CK nên SB⊥(CHK).
Từ đó ta có SB⊥HK, tương tự, ta chứng minh được SC⊥(BHK), suy ra SC⊥HK. Do đó HK⊥(SBC).