Giải bài 7.13 trang 30 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a.
Đề bài
Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a. Tính côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp chung
Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α)ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm giao điểm O=a∩(α)
- Dựng hình chiếu A′ của một điểm A∈a xuống (α)
- Góc ^AOA′=φ chính là góc giữa đường thẳng a và (α).
Gợi ý phương pháp giải
Kẻ AH⊥(BCD) tại H,
Xác định hình chiếu của AB trên (BCD) là BH
Tính góc (AB,BH)=^ABH rồi kết luận
Lời giải chi tiết
Kẻ AH⊥(BCD) tại H, ta có BH là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (BCD) nên góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BH, mà (AB,BH)=^ABH.
Vì AB=AC=AD nên HB=HC=HD, hay H là tâm của tam giácBCD, suy raBH=23.a√32=a√33.
Từ đó ta tính được: cos^ABH=BHAB=√33.
Vậy côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng √33.