Giải bài 7. 7 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tứ diện $OABC$ có ba cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ đến mặt phẳng$\left( {ABC} \right)$. Chứng minh rằng:

a)$BC \bot \left( {OAH} \right)$;

b) $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$;

c) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $OA \bot OB,OA \bot OC \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right)$, suy ra. $OA \bot BC$

Vì $OH \bot \left( {ABC} \right)$ nên$OH \bot BC$,suy ra$BC \bot \left( {OAH} \right)$.

b) Vì $BC \bot \left( {OAH} \right)$ nên $BC \bot AH$.

Tương tự, $CA \bot BH$, do đó $H$ là trực tâm của tam giác$ABC$.

c) Gọi $K$ là giao điểm của $AH$ và $BC$,

Ta có: $OK \bot BC$ và $OA \bot OK$ nên $OK$ là đường cao của tam giác vuông $OBC$ và  là đường cao của tam giác vuông $OAK$.

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông $OBC$ và$OAK$, ta có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}$ và $\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Từ đó suy ra: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.