Giải bài 7.25 trang 35 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD). Gọi H,M lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và AB.
a) Tính côsin của góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy (ABCD).
b) Chứng minh rằng (SMD)⊥(SHC).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng tính chất:
- Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng và vuông góc với giao tyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
{(P)⊥(Q)a⊂(P)b=(P)∩(Q)a⊥b⇒a⊥(Q)
Ta có (SAD)⊥(ABCD) và SH⊥AD nên SH⊥(ABCD),
Xác định hình chiếu của đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
Tính góc giữa hai đường thẳng SC và hình chiếu của nó rồi kết luận
Để chứng minh (SDM)⊥(SCH) sử dụng tính chất DM⊥CH,DM⊥SH
Lời giải chi tiết
a) Ta có (SAD)⊥(ABCD) và SH⊥AD nên SH⊥(ABCD), suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SC và CH, mà (SC,CH)=^SCH, ta tính được SH=a√32,HC=a√52 và SC=a√2.
Do đó cos^SHC=HCSC=√104.
b) Ta có DM⊥CH,DM⊥SH nên DM⊥(SCH). Hơn nữa, mặt phẳng (SDM) chứa đường thẳng DM nên (SDM)⊥(SCH).