Giải bài 7. 48 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB’ bằng.

A. $\frac{{a\sqrt 7 }}{2}$.

B. $\frac{{a\sqrt {14} }}{4}$.

C. $\frac{{a\sqrt 7 }}{4}$.

D. $\frac{{a\sqrt {14} }}{2}$,

Lời giải chi tiết

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$B'C \cap BC' = K$

$H$ là trung điểm $KC$

Do tứ giác $BCC'B'$ là hình vuông suy ra $B'C \bot BC';HM \bot B'C\,\,(1)$

Dễ thấy $AM \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AM \bot B'C{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,\,\,(2)$

Từ $\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {AMH} \right) \bot B'C \Rightarrow AH \bot B'C$

Từ đó suy ra khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng $B'C$ bằng $AH$

Ta có $AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HM = \frac{{BK}}{2} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{4}$

Xét tam giác $AMH$ vuông tại $M$ ta có $AH = \sqrt {A{M^2} + H{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}$

Vậy, khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng $B'C$ bằng $\frac{{a\sqrt {14} }}{4}$