Giải bài 7.48 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB’ bằng.
Đề bài
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB’ bằng.
A. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).
B. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{4}\).
C. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{4}\).
D. \(\frac{{a\sqrt {14} }}{2}\),
Lời giải chi tiết
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\)
\(B'C \cap BC' = K\)
\(H\) là trung điểm \(KC\)
Do tứ giác \(BCC'B'\) là hình vuông suy ra \(B'C \bot BC';HM \bot B'C\,\,(1)\)
Dễ thấy \(AM \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AM \bot B'C{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,\,\,(2)\)
Từ \(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {AMH} \right) \bot B'C \Rightarrow AH \bot B'C\)
Từ đó suy ra khoảng cách từ điểm đến đường thẳng \(B'C\) bằng \(AH\)
Ta có \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HM = \frac{{BK}}{2} = \frac{{{\rm{a}}\sqrt 2 }}{4}\)
Xét tam giác \(AMH\) vuông tại \(M\) ta có \(AH = \sqrt {A{M^2} + H{M^2}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{4}\)
Vậy, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng \(B'C\) bằng \(\frac{{a\sqrt {14} }}{4}\)