Giải bài 7. 46 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi $O$ là giao điểm của $AC$và$BD$. Khoản cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng

A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{6}$.

B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

Lời giải chi tiết

Tính khoảng cách từ $O$ tới $mp\left( {SBC} \right)$:

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$.

Theo giả thiết $SO \bot \left( {ABCD} \right) \supset BC$.

$\Rightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO \subset \left( {SOE} \right)\\BC \bot OE \subset \left( {SOE} \right)\\OE \cap SO = O\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $BC \bot \left( {SOE} \right)$ mà $BC \subset \left( {SBC} \right)$$\Rightarrow$ $\left( {SBC} \right) \bot \left( {SOE} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $SE$$\Rightarrow OH \bot SE = \left( {SBC} \right) \cap \left( {SOE} \right)$, suy ra $OH \bot \left( {SBC} \right)$ nên $d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH$.

Ta có $SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Trong $\Delta SOE$ vuông tại $O$, ta có:

$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}$ $\Rightarrow$ $OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$

$\Rightarrow$$d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$.