Giải bài 7. 47 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$có tất cả các cạnh đều bằng $a$, gọi $O$là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng

A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

C. .$\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh$AB,CD$; $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SN.$

Vì $AB{\rm{//}}CD$ nên $d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {M,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SO\\CD \bot ON\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SON) \Rightarrow CD \bot OH$

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OH\\OH \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SCD) \Rightarrow d\left( {O;(SCD)} \right) = OH.$

Tam giác $SOD$ vuông tại $O$ nên $O{S^2} = S{D^2} - O{D^2} = {a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Tam giác $SON$ vuông tại $O$ nên $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{4}}} + \frac{1}{{\frac{{{a^2}}}{2}}} = \frac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}$

Vậy $d\left( {AB,SD} \right) = 2OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.