Giải bài 7.52 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA=a√2
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA=a√2
a) Chứng minh rằng(SAC)⊥(SBD) và (SAD)⊥(SCD)
b) Gọi BE, DF là hai đường cao của tam giác SBD. Chứng minh (ACF)⊥(SBC) và (AEF)⊥(SAC)
c) Tính theo a khoản cách giữa hai đường thẳng BD và SC
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh BD⊥(SAC) từ đó suy ra (SBD)⊥(SAC).
b) Chứng minh AF⊥(SBC) từ đó suy ra (ACF)⊥(SBC).
Chứng minh SC⊥(AEF) suy ra (AEF)⊥(SAC).
c) Dựng đoạn vuông góc chung của BD và SC,
Tính độ dài đoạn vuông góc chung của BD và SC,
Lời giải chi tiết
a) Ta có: BD⊥AC,SA⊥(ABCD) nên SA⊥BD, suy ra BD⊥(SAC), mà mặt phẳng (SBD) chứa đường thẳng BD, do đó (SBD)⊥(SAC).
Ta có: CD⊥AD,CD⊥SA, suy ra CD⊥(SAD), mà mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD, do đó (SCD)⊥(SAD).
b) Ta có: AD⊥(SAB) nên AD⊥SB, mà SB⊥DF suy ra SB⊥(ADF), do đó
SB⊥AF.
Ta lại có BC⊥(SAB) nên BC⊥AF, suy ra AF⊥(SBC), mà mặt phẳng (ACF) chứa đường thẳng AF nên (ACF)⊥(SBC).
Vì AF⊥(SBC) nên AF⊥SC.
Tương tự, ta có AE⊥(SCD) nên AE⊥SC, suy ra SC⊥(AEF), mà mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng SC nên (AEF)⊥(SAC).
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ OH⊥SC tại H, mà BD⊥(SAC) nên OH⊥BD, suy ra OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC, hay d(BD,SC)=OH
Ta có: ΔCHO đồng dạng với ΔCAS nên OCCS=OHAS, suy ra OH=AS⋅OCCS=a2.
Vậy d(BD,SC)=a2.