Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Chứng minh rằng hàm số f(x)=|x−2|
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số f(x)=|x−2| không có đạo hàm tại điểm x0=2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x≠2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu lim thì f'\left( {{x_0}} \right) = a.
Lời giải chi tiết
* Xét x > 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = x - 2.
Tại {x_0} \in \left( {2; + \infty } \right) tùy ý, gọi \Delta x là số gia của biến số tại {x_0}.
\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + \Delta x - 2 - {x_0} + 2 = \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.\end{array}
\Rightarrow f'\left( x \right) = 1.
* Xét x < 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = 2 - x.
Tại {x_0} \in \left( { - \infty ; - 2} \right) tùy ý, gọi \Delta x là số gia của biến số tại {x_0}.
\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2 - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) + {x_0} - 2 = - \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} = - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.\end{array}
\Rightarrow f'\left( x \right) = - 1.
* Xét tại x = 2, gọi \Delta x là số gia của biến số tại {x_0} = 2.
\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.
Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x = 2.