Giải bài 8.28 trang 53 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hai biến cố \(A,B\) với \(P\left( A \right) = \frac{1}{4},P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{5},P\left( {A \cup B} \right) = \frac{7}{8}\). Hỏi \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?
Đề bài
Cho hai biến cố \(A,B\) với \(P\left( A \right) = \frac{1}{4},P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{5},P\left( {A \cup B} \right) = \frac{7}{8}\). Hỏi \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng quy tắc cộng, nhân xác suất
Tính \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right)\)
Tính \(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right){\rm{\;}}\)
So sánh \(P\left( {AB} \right),P\left( A \right).P\left( B \right).\)
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) \Rightarrow \) hai biến cố \(A,B\) độc lập.
\(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right) \Rightarrow \) hai biến cố \(A,B\) không độc lập.
Lời giải chi tiết
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = \frac{1}{4} + \left( {1 - \frac{1}{5}} \right) - \frac{7}{8} = \frac{7}{{40}}\).
\(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5} = \frac{8}{{40}} \ne \frac{7}{{40}} = P\left( {AB} \right){\rm{.\;}}\)
Vậy hai biến cố \(A,B\) không độc lập.