Giải bài 9.2 trang 57 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hàm số f(x)=x(2x−1)2. Tính f′(0) và f′(1).
Đề bài
Cho hàm số f(x)=x(2x−1)2 . Tính f′(0) và f′(1) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0∈(a;b) , ta thực hiện theo các bước sau:
1. Tính f(x)−f(x0) .
2. Lập và rút gọn tỉ số f(x)−f(x0)x−x0 với x∈(a;b),x≠x0 .
3. Tìm giới hạn lim .
Lời giải chi tiết
f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x{{(2x - 1)}^2}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{(2x - 1)}^2}} \right] = {( - 1)^2} = 1
Để tính f'\left( 1 \right), ta phân tích:
\begin{array}{*{20}{r}}{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}&{\; = x{{(2x - 1)}^2} - 1 = \left( {x - 1} \right){{(2x - 1)}^2} + {{(2x - 1)}^2} - 1}\\{}&{}\end{array}
= \left( {x - 1} \right){(2x - 1)^2} + 4x\left( {x - 1} \right).
Khi đó, f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4x} \right] = 5