Giải bài 8 trang 94 vở thực hành Toán 9 tập 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại một điểm S khác A. Chứng minh rằng (frac{{SM}}{{SB}} = frac{{SN}}{{SC}}).
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại một điểm S khác A. Chứng minh rằng \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh \(\widehat {SMA} = \widehat {SNA}\), từ đó chứng minh được \(\widehat {SMB} = \widehat {SNC}\).
+ Chứng minh $\Delta SMB\backsim \Delta SNC\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SC}}\), hay \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}\).
Lời giải chi tiết
Vì \(\widehat {SMA}\) và \(\widehat {SNA}\) là các góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và cùng chắn $\overset\frown{AS}$ nên \(\widehat {SMA} = \widehat {SNA}\). Từ đây suy ra \(\widehat {SMB} = {180^o} - \widehat {SMA} = {180^o} - \widehat {SNA} = \widehat {SNC}\). (1)
Xét tam giác SMB và tam giác SNC, ta có:
\(\widehat {SBM} = \widehat {SCN}\) (hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn $\overset\frown{AS}$),
\(\widehat {SMB} = \widehat {SNC}\) (chứng minh trên).
Vậy $\Delta SMB\backsim \Delta SNC\left( g.g \right)$. Suy ra \(\frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SC}}\), hay \(\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}\).