Giải bài 8 trang 94 vở thực hành Toán 9 tập 2
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại một điểm S khác A. Chứng minh rằng (frac{{SM}}{{SB}} = frac{{SN}}{{SC}}).
Đề bài
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại một điểm S khác A. Chứng minh rằng SMSB=SNSC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Chứng minh ^SMA=^SNA, từ đó chứng minh được ^SMB=^SNC.
+ Chứng minh ΔSMB∽, suy ra \frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SC}}, hay \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}.
Lời giải chi tiết
Vì \widehat {SMA} và \widehat {SNA} là các góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và cùng chắn \overset\frown{AS} nên \widehat {SMA} = \widehat {SNA}. Từ đây suy ra \widehat {SMB} = {180^o} - \widehat {SMA} = {180^o} - \widehat {SNA} = \widehat {SNC}. (1)
Xét tam giác SMB và tam giác SNC, ta có:
\widehat {SBM} = \widehat {SCN} (hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn \overset\frown{AS}),
\widehat {SMB} = \widehat {SNC} (chứng minh trên).
Vậy \Delta SMB\backsim \Delta SNC\left( g.g \right). Suy ra \frac{{SM}}{{SN}} = \frac{{SB}}{{SC}}, hay \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}}.