Giải bài 9.21 trang 76 SGK Toán 7 tập 2 - Kết nối tri thức
Chứng minh rằng: a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau. b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Đề bài
Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét các tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a)
Gọi BM, CN là 2 đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
\( \Rightarrow \)MA = MC = \(\dfrac{1}{2}\)AC; NA = NB = \(\dfrac{1}{2}\)AB
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AB = AC ( tính chất)
Do đó, AM = MC = NA = NB
Xét \(\Delta \)ANC và \(\Delta \)AMB, ta có:
AN = AM
\(\widehat A\) chung
AC = AB
\( \Rightarrow \)\(\Delta \)ANC = \(\Delta \)AMB (c.g.c)
\( \Rightarrow \) NC = MB ( 2 cạnh tương ứng)
Vậy 2 đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên của tam giác cân là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b)
Vì \(∆ABC\) có hai đường trung tuyến \(BM\) và \(CN\) cắt nhau ở \(G\)
\(\Rightarrow \) \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
\(\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BM\); \(GC = \dfrac{2}{3}CN\) ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác)
Mà \(BM = CN\) (giả thiết) nên \(GB = GC.\)
Tam giác \(GBC\) có \(GB = GC\) nên \(∆GBC\) cân tại \(G\).
\(\Rightarrow \) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (Tính chất tam giác cân).
Xét \(∆BCN\) và \(∆CBM\) có:
+) \(BC\) là cạnh chung
+) \(CN = BM\) (giả thiết)
+) \(\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(∆BCN = ∆CBM\) (c.g.c)
\(\Rightarrow \) \(\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\) (hai góc tương ứng).
\(\Rightarrow ∆ABC\) cân tại \(A\) (tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân)
Vậy tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.