Giải bài tập 1. 21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}$

b) $y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}$

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: $D = R\backslash \{  - \frac{1}{2}\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \frac{1}{2}$

Suy ra đường thẳng ${\rm{y}} = \frac{1}{2}$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} =  - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{x - 2}}{{2x + 1}} = \infty$

Suy ra đường thẳng ${\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: ${y^\prime } = \frac{5}{{{{(2x + 1)}^2}}} > 0\forall x \in R$

Suy ra hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x =  - \frac{1}{2}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{1}{2}$

Giao với trục Oy tại điểm (0,-2)

Giao với trục Ox tại điểm (2,0)

b)

- Tập xác định: $D = R\backslash \{  - 2\}$

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - 1$

Suy ra đường thẳng ${\rm{y}} =  - 1$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} = \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}} =  - \infty$

Suy ra đường thẳng ${\rm{x}} =  - 2$. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: ${y^\prime } = \frac{{ - 10}}{{{{(2x + 4)}^2}}} < 0\forall x \in R$

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Tiệm cận đứng: $x =  - 2$ và tiệm cận ngang $y =  - 1$

Giao với trục Oy tại điểm (0,$\frac{1}{4}$)

Giao với trục Ox tại điểm ($\frac{1}{2}$,0)