Giải bài tập 1.16 trang 22 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tìm các đường tiệm cận của mỗi hàm số a) y=x3−2x+x−9 b) y=x−54x+2 c) y=x2−3x+42x+1 d) y=2x−1+2x+1
Đề bài
Tìm các đường tiệm cận của mỗi hàm số
a) y=x3−2x+x−9
b) y=x−54x+2
c) y=x2−3x+42x+1
d) y=2x−1+2x+1
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét giới hạn các hàm số và áp dụng ghi chú: hàm số y=ax2+bx+cmx+n (a≠0,m≠0 đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng y=px+q+rmx+n(p,q,r∈R). Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x=−nmlà và đường tiệm cận xiên lày=px+q .
Lời giải chi tiết
a) y=x3−2x+x−9
Hàm số xác định trên R nên hàm số không có tiệm cận đứng.
Lại có vì y là hàm đa thức nên không có tiệm cận ngang.
b) y=x−54x+2
Ta có lim
Suy ra y =\;\frac{1}{4} là đường tiệm cận ngang của hàm số.
Ta có \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x - 5}}{{4x + 2}} = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ - }} \frac{{x - 5}}{{4x + 2}} = + \infty .
Suy ra x = \frac{{ - 1}}{2} đường tiệm cận đứng của hàm số.
c) y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}}
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = - \infty .
Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = - \infty
Suy ra x = \frac{{ - 1}}{2} là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = \frac{x}{2} - \frac{7}{4} + \frac{{23}}{{4(2x + 1)}}
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - \frac{x}{2} + \frac{7}{4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{23}}{{4(2x + 1)}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - \frac{x}{2} + \frac{7}{4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{23}}{{4(2x + 1)}} = 0.
Suy ra y = \frac{x}{2} - \frac{7}{4} là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = - \infty .
Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = - \infty .
Suy ra x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = 0.
Suy ra y = 2x - 1 là tiệm cận xiên của đồ thị.
Hàm số có đường tiệm cận đứng là x = - 1và đường tiệm cận xiên là y = 2x - 1 .