Giải bài tập 11 trang 91 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.$ và mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0$. Cosin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

A. $\frac{{2\sqrt 5 }}{5}$.

B. $\frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

C. $\frac{{2\sqrt 3 }}{5}$.

D. $\frac{{\sqrt 3 }}{5}$.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( { - 1;0;2} \right)$, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {2; - 1; - 2} \right)$. Ta có: $\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {\left( { - 1} \right).2 + 0.\left( { - 1} \right) + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{6}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Do đó, $\cos \left( {d,\left( P \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{2\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Chọn B