Giải bài tập 2. 20 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho $\vec a = (1;0;1)$, $\vec b = (1;1;0)$ và $\vec c = ( - 4;3;m)$.

a) Tìm góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$.

b) Tìm m để vectơ $\vec d = 2\vec a + 3\vec b$ vuông góc với $\vec c$.

Lời giải chi tiết

a) Tính góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$:

$\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}}  = \sqrt 2$

Góc giữa hai vectơ $\vec a$ và $\vec b$ được tính bởi:

$\cos \theta  = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{\left| {\vec a} \right|\left| {\vec b} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 2  \times \sqrt 2 }} = \frac{1}{2}$

Vậy $\theta  = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = {60^\circ }$.

b) Tìm $m$ để vectơ $\vec d = 2\vec a + 3\vec b$ vuông góc với $\vec c$:

Tọa độ của $\vec d$ là:

$\vec d = 2\vec a + 3\vec b = 2(1;0;1) + 3(1;1;0) = (2 + 3;0 + 3;2 + 0) = (5;3;2)$

Điều kiện để $\vec d$ vuông góc với $\vec c$ là:

$\vec d \cdot \vec c = 5 \times ( - 4) + 3 \times 3 + 2 \times m = 0$

Giải phương trình: $- 20 + 9 + 2m = 0$

$2m = 11$

$m = \frac{{11}}{2}$

Vậy $m = \frac{{11}}{2}$ là giá trị cần tìm.