Giải bài tập 2.19 trang 79 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình tứ diện ABCD. Biết rằng \(A(1;0; - 1)\), \(B( - 3;2;0)\), \(C(1;1;4)\), \(D( - 2;1;5)\). a) Tìm tọa độ của điểm E sao cho \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \). b) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho hình tứ diện ABCD. Biết rằng \(A(1;0; - 1)\), \(B( - 3;2;0)\), \(C(1;1;4)\), \(D( - 2;1;5)\).
a) Tìm tọa độ của điểm E sao cho \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \).
b) Tìm tọa độ trung điểm M của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng công thức tính toán các phép cộng và trừ vectơ:
\(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} \)
b) Tọa độ trung điểm được tính theo công thức:
\(M\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2},\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2},\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\)
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3},\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3},\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Lời giải chi tiết
a) Tọa độ điểm E:
\(\overrightarrow {AB} = ( - 4;2;1),\quad \overrightarrow {AC} = (0;1;5),\quad \overrightarrow {AD} = ( - 3;1;6)\)
\(\overrightarrow {AE} = ( - 4;2;1) + (0;1;5) - ( - 3;1;6) = ( - 1;2;0)\)
b) Trung điểm M của AB: \(M = \left( {\frac{{1 - 3}}{2};\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{ - 1 + 0}}{2}} \right) = \left( { - 1;1; - \frac{1}{2}} \right)\)
Trọng tâm G: \(G = \left( {\frac{{1 - 3 + 1}}{3};\frac{{0 + 2 + 1}}{3};\frac{{ - 1 + 0 + 4}}{3}} \right) = \left( { - \frac{1}{3};1;1} \right)\)