Giải bài tập 2.7 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính: a) →BC.→AH; b) →AF.→EG; c) →AC.→FE.
Đề bài
Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:
a) →BC.→AH;
b) →AF.→EG;
c) →AC.→FE.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để tính tích vô hướng giữa hai vectơ, ta có thể áp dụng công thức:
→u⋅→v=|→u|⋅|→v|⋅cosθ
Lời giải chi tiết
Giả sử hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a.
a) Tính →BC⋅→AH:
- |→BC|=a
- |→AH|=√a2+a2=a√2
- Góc giữa →BC và →AH là {45^^\circ } vì →BC=→AD mà ^(→AD,→AH)=45∘
Do đó:
→BC⋅→AH=|→BC|⋅|→AH|⋅cos45∘=a⋅a√2⋅1√2=a2
b) Tính →AF⋅→EG:
- |→AF|=a√2
- |→EG|=a√2
- Góc giữa →AF và →EG là 60∘ vì →EG=→AC mà tam giác ACF đều.
Do đó:
→AF⋅→EG=|→AF|⋅|→EG|⋅cos60∘=a√2⋅a√2⋅12=a2
c) Tính →AC⋅→FE:
- |→AC|=a√2
- |→FE|=a
- Góc giữa →AC và →FE là 135∘ vì góc giữa →AC và vectơ đối của →FE là →EF là 45∘ mà ^(→AC,→EF)+^(→AC,→FE)=180∘
Do đó:
→AC⋅→FE=|→AC|⋅|→FE|⋅cos135∘=a√2⋅a⋅cos135∘
Vì cos135∘=−1√2, ta có:
→AC⋅→FE=a√2⋅a⋅(−1√2)=−a2