Giải bài tập 2. 8 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và

$\widehat {BAA'} = \widehat {BAD} = \widehat {DAA'} = {60^\circ }$. Tính độ dài đường chéo AC’.

Lời giải chi tiết

Vì tất cả các cạnh đều bằng a và các góc giữa các cặp vectơ đều là ${\rm{\backslash }}({60^\circ }{\rm{ \backslash }})$, ta có:

$|\overrightarrow {AB} | = |\overrightarrow {AD} | = |\overrightarrow {AA'} | = a$

Tích vô hướng giữa các cặp vectơ:

$\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}$

$\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}$

$\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'}  = {a^2}\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}$

Vì ABCD.A’B’C’D’ nên:

$\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}$

Suy ra:

$|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {|\overrightarrow {AB} {|^2} + |\overrightarrow {AD} {|^2} + |\overrightarrow {AA'} {|^2} + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  + 2\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AA'}  + 2\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {AA'} }$

Tính độ dài đường chéo AC':

$|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2} + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + 2\left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right)}$

$|\overrightarrow {AC'} | = \sqrt {3{a^2} + 3{a^2}}  = \sqrt {6{a^2}}  = a\sqrt 6$

Vậy độ dài đường chéo $AC'$ là $a\sqrt 6$.