Giải bài tập 3 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) $y = 3 + \frac{1}{x}$ b) $y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}$

Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = 3 + \frac{1}{x}$

b) $y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có)

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết

a) $y = 3 + \frac{1}{x}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$

Chiều biến thiên:

$y' = - \frac{1}{{{x^2}}} < 0\forall x \in D$ nên hàm số nghịch biến trên D

Tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (3 + \frac{1}{x}) = 3$ nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (3 + \frac{1}{x}) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (3 + \frac{1}{x}) = - \infty$ nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow 3 + \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{3}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm ( $- \frac{1}{3}$ ; 0)

b) $y = \frac{{x - 3}}{{1 - x}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\}$

Chiều biến thiên:

$y' = \frac{{ - 2}}{{{{(1 - x)}^2}}} < 0\forall x \in D$ nên hàm số nghịch biến trên D

Tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - 1$ nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x - 3}}{{1 - x}} = - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số