Giải bài tập 4.13 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v=k(R2−r2), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng 0≤r≤R. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Đề bài
Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v=k(R2−r2), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng 0≤r≤R. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu b∫af(x)dx
Sử dụng kiến thức về định nghĩa giá trị trung bình để tính: Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là 1b−ab∫af(x)dx.
Lời giải chi tiết
Vận tốc trung bình của động mạch là:
1R−0R∫0v(r)dr=1RR∫0k(R2−r2)dr=1RR∫0(kR2−kr2)dr=1R(kR2r−kr33)|R0
=1R(k.R3−kR33)=2kR23
Do đó, vận tốc trung bình của động mạch là: vtb=2kR23.
Vì 0≤r≤R nên vận tốc của động mạch đạt giá trị lớn nhất là vmax khi r = 0.
Do đó, {v_{\max }} = \frac{3}{2}{v_{tb}}.