Giải bài tập 4. 8 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Giải bài tập 4.8 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) $\int\limits_1^2 {\left( {2x + 1} \right)dx}$ ; b) $\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} dx}$ .

Đề bài

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\int\limits_1^2 {\left( {2x + 1} \right)dx}$ ;

b) $\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} dx}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về ý nghĩa hình học của tích phân để tính: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f\left( x \right)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = a,x = b$ . Vậy $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ .

Lời giải chi tiết

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ $AB = 3,$ đáy lớn $CD = 5$ và đường cao $AD = 1$ .

Do đó, $\int\limits_1^2 {\left( {2x + 1} \right)dx} = {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)AD = \frac{1}{2}\left( {3 + 5} \right).1 = 4$

b) Ta có $y = \sqrt {9 - {x^2}}$ là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 3. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.