Giải bài tập 5. 10 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, $S( - 3;2;6)$, $A(1;1;1)$, $B(2;3;4)$, $C(7;7;5)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SCD).

b) Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.

Lời giải chi tiết

Viết phương trình mặt phẳng $(ABCD)$ qua ba điểm $A(1;1;1),B(2;3;4),C(7;7;5)$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = (2 - 1;3 - 1;4 - 1) = (1;2;3)\\\overrightarrow {AC}  = (7 - 1;7 - 1;5 - 1) = (6;6;4)\end{array}$

Tìm vector pháp tuyến $\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}$:

$\vec n = \left( {2.4 - 3.6;\,\,3.6 - 1.4;\,\,1.6 - 2.6} \right) = \left( { - 10;14; - 6} \right)$

Phương trình mặt phẳng có dạng: $- 10(x - 1) + 14(y - 1) - 6(z - 1) = 0$, suy ra:

$- 10x + 14y - 6z + 2 = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(ABCD)$ là: $- 5x + 7y - 3z + 1 = 0$.

Vì ABCD là hình bình hành nên:

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OD}  \to \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {AB}  = (7 - 1;\,7 - 2;5 - 3) = (6;5;2)$

Viết phương trình mặt phẳng $(SCD)$ qua các điểm $S( - 3;2;6),C(7;7;5),D(6;5;2)$.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {SC}  = (7 + 3;7 - 2;5 - 6) = (10;5; - 1)\\\overrightarrow {SD}  = (6 + 3;5 - 2;2 - 6) = (9;3; - 4)\end{array}$

Tìm vector pháp tuyến $\vec n' = \overrightarrow {SC}  \times \overrightarrow {SD}$:

$\vec n' = \left( {5.( - 4) - ( - 1).3;\,( - 1).9 - 10.( - 4);\,10.3 - 5.9} \right) = ( - 17;31; - 15)$

Phương trình mặt phẳng có dạng: $- 17(x + 3) + 31(y - 2) - 15(z - 6) = 0$, suy ra:

$17x - 31y + 15z + 23 = 0$

Vậy phương trình mặt phẳng $(SCD)$ là: $17x - 31y + 15z + 23 = 0$.

Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD.

$d = \frac{{| - 5.( - 3) + 7.(2) - 3(6) + 1|}}{{\sqrt {{{( - 5)}^2} + {7^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{|12|}}{{\sqrt {25 + 49 + 9} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {83} }}$

Vậy chiều cao của hình chóp S.ABCD là $\frac{{12}}{{\sqrt {83} }}$.