Giải bài tập 5.13 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: \(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
Đề bài
Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh:
\(A(0;1;2),\quad B(0;1;3,5),\quad C(0;4;3,5),\quad D(0;2,5;2),\,\,\,\,\,\,E(2;1;2)\) (Hình 5.15)
a) Viết phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) và tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH.
b) Viết phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) và tính khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C thì ta có thể làm như sau:
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng dựa trên tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
- Thay một trong ba điểm A, B, C để tìm phương trình mặt phẳng.
Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này có thể tính bằng cách lấy tọa độ của một điểm thuộc một mặt phẳng và tính khoảng cách từ điểm này đến mặt phẳng còn lại.
Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\(d = \frac{{|A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)
Lời giải chi tiết
a)
Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ tứ giác nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((EFGH)\) cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\).
Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABCD)\):
\(\overrightarrow {AB} = (0;0;1,5)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC} = (0;3;1,5)\)
\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = ( - 4,5;0;0)\)
Phương trình mặt phẳng \((EFGH)\) có dạng:
\( - 4,5x + 9 = 0 \Leftrightarrow - x + 2 = 0\)
Chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH cũng chính là khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng \((EFGH)\):
\(d = \frac{{\left| { - 1.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{2}{1} = 2\)
Vậy chiều cao của hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH là 2.
b)
Ta có:
\(\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD} \to \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {OE} = (0 - 0 + 2;2,5 - 1 + 1;2 - 2 + 2) = (2;2,5;2)\)
Các điểm thuộc mặt phẳng \((CDHG)\) là \(C(0;4;3.5)\), \(D(0;4;2)\), \(H(2;2,5;2)\).
Tìm hai vectơ chỉ phương:
\(\overrightarrow {CD} = (0; - 1,5; - 1,5),\quad \overrightarrow {CH} = (2; - 1;5; - 1.5).\)
Tính tích có hướng của hai vectơ:
\(\vec n = \overrightarrow {CD} \times \overrightarrow {CH} = (0; - 3;3).\)
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec n = (0; - 3;3)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:
\( - 3(y - 4) + 3(z - 3,5) = 0\quad \Rightarrow \quad - 3y + 3z + 1,5 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2y - 2z - 1 = 0\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((CDHG)\) là \(2y - 2z - 1 = 0\).
Ta có:
\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AB} \to \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {OE} = (0 + 2;0 + 1;1,5 + 2) = (2;1;3,5)\)
Khoảng cách từ điểm \(F(2;1;3,5)\) đến mặt phẳng \(2y - 2z - 1 = 0\) được tính bằng:
\(d = \frac{{\left| {2.1 - 2.3,5 - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{\left| { - 6} \right|}}{{\sqrt 8 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(F\) đến mặt phẳng \((CDHG)\) là \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).