Giải bài tập 5. 12 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.EFD với các đỉnh $A(2; - 1;6)$, $B( - 3; - 1; - 4)$, $C(5; - 1;0)$, $D(1;2;1)$.

a) Viết phương trình các mặt phẳng $(BCDF),(ABFE),(DEF)$.

b) Tính khoảng cách từ $A$ đến các mặt phẳng $(BCDF)$ và $(DEF)$.

Lời giải chi tiết

a)

Phương trình mặt phẳng $(BCDF)$:

- Xét các điểm $B( - 3; - 1; - 4),C(5; - 1;0),D(1;2;1)$.

- Tính các vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {BC}  = (8,0,4),\quad \overrightarrow {BD}  = (4,3,5)$

- Tính tích có hướng:

$\vec n = \overrightarrow {BC}  \times \overrightarrow {BD}  = ( - 1, - 2,2)$

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$x + 2y - 2z - 3 = 0$

Phương trình mặt phẳng $(ABFE)$:

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

$\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {FD}  \to \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OF}  \to \overrightarrow {OF}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {BC}  = (1 - 8;2 - 0;1 - 4) = ( - 7;2; - 3)$

- Xét các điểm  $A(2; - 1;6)$, $B( - 3; - 1; - 4)$, $F( - 7;2; - 3)$.

- Tính các vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {AB}  = ( - 5;0; - 10),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AF}  = ( - 9;3; - 9)$

- Tính tích có hướng:

$\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AF}  = (30;45; - 15)$

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$30x + 45y - 15z + 75 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - z + 5 = 0$

Phương trình mặt phẳng $(DEF)$:

- Vì ABC.EFD là hình lăng trụ tam giác nên

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {EF}  \to \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OF}  - \overrightarrow {OE}  \to \overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {OF}  - \overrightarrow {AB}  = ( - 7 - ( - 5);2 - 0; - 3 - ( - 10)) = ( - 2;2;7)$

- Xét các điểm  $D(1;2;1)$,

$E( - 2;2;7)$, $F( - 7;2; - 3)$.

- Tính các vectơ chỉ phương:

$\overrightarrow {DE}  = ( - 3;0;6),\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {DF}  = ( - 8;0; - 4)$

- Tính tích có hướng:

$\vec n = \overrightarrow {DE}  \times \overrightarrow {DF}  = (0; - 60;0)$

- Phương trình mặt phẳng có dạng:

$- 60y + 120 = 0 \Leftrightarrow  - y + 2 = 0$

b)

Khoảng cách từ $A(2; - 1;6)$ đến mặt phẳng $(BCDF)$ là:

$d = \frac{{|1 \cdot 2 + 2 \cdot ( - 1) - 2 \cdot 6 - 3|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }} = \frac{{15}}{3} = 5$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(BCDF)$ là $d = 5$.

Khoảng cách từ $A(2; - 1;6)$ đến mặt phẳng $(DEF)$ là:

$d = \frac{{| - 1.( - 1) + 2|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2}} }} = \frac{3}{1} = 3$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(DEF)$ là $d = 3$.