Giải bài tập 5. 8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá — Không quảng cáo

Đề bài

Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) $({\alpha _1}):x + 2y - 3z + 2 = 0$ và $({\alpha _2}): - 2x - 4y + 6z - 5 = 0$.

b) $({\beta _1}):x + 2z - 5 = 0$ và $({\beta _2}):4x - 3y - 2z + 1 = 0$.

c) $({\gamma _1}):x - 2y + z + 3 = 0$ và $({\gamma _2}):2x - 4y + 3z + 2 = 0$.

Lời giải chi tiết

a)

Vector pháp tuyến của $({\alpha _1})$: $\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}}  = (1,2, - 3)$.

Vector pháp tuyến của $({\alpha _2})$: $\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}}  = ( - 2, - 4,6)$.

Ta nhận thấy: $\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}}  =  - 2 \cdot \overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}}$, do đó $\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}}$ và $\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}}$ cùng phương.

Suy ra hai mặt phẳng song song.

b)

Vector pháp tuyến của $({\beta _1})$: $\overrightarrow {{n_{{\beta _1}}}}  = (1,0,2)$.

Vector pháp tuyến của $({\beta _2})$: $\overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}}  = (4, - 3, - 2)$.

Tích vô hướng:

$\overrightarrow {{n_{{\beta _1}}}}  \cdot \overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}}  = 1 \cdot 4 + 0 \cdot ( - 3) + 2 \cdot ( - 2) = 4 - 4 = 0$

Suy ra hai mặt phẳng vuông góc.

c)

Vector pháp tuyến của $({\gamma _1})$: $\overrightarrow {{n_{{\gamma _1}}}}  = (1, - 2,1)$.

Vector pháp tuyến của $({\gamma _2})$: $\overrightarrow {{n_{{\gamma _2}}}}  = (2, - 4,3)$.

Tỉ lệ giữa các thành phần của vector là:

$\frac{2}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = \frac{3}{1}$

Tích vô hướng:

$\overrightarrow {{n_{{\gamma _1}}}} .\overrightarrow {{n_{{\gamma _2}}}}  = 1.2 + ( - 2).( - 4) + 1.3 = 13 \ne 0$

Có thể thấy hai vector không cùng phương và cũng không vuông góc.

Suy ra hai mặt phẳng không vuông góc cũng không song song