Giải bài tập 5.8 trang 52 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau: a) (({alpha _1}):x + 2y - 3z + 2 = 0) và (({alpha _2}): - 2x - 4y + 6z - 5 = 0). b) (({beta _1}):x + 2z - 5 = 0) và (({beta _2}):4x - 3y - 2z + 1 = 0). c) (({gamma _1}):x - 2y + z + 3 = 0) và (({gamma _2}):2x - 4y + 3z + 2 = 0).
Đề bài
Xét tính song song, vuông góc giữa hai mặt phẳng sau:
a) \(({\alpha _1}):x + 2y - 3z + 2 = 0\) và \(({\alpha _2}): - 2x - 4y + 6z - 5 = 0\).
b) \(({\beta _1}):x + 2z - 5 = 0\) và \(({\beta _2}):4x - 3y - 2z + 1 = 0\).
c) \(({\gamma _1}):x - 2y + z + 3 = 0\) và \(({\gamma _2}):2x - 4y + 3z + 2 = 0\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Hai mặt phẳng song song nếu và chỉ nếu vector pháp tuyến của chúng cùng phương.
- Hai mặt phẳng vuông góc nếu và chỉ nếu tích vô hướng của vector pháp tuyến của chúng bằng 0.
Lời giải chi tiết
a)
Vector pháp tuyến của \(({\alpha _1})\): \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = (1,2, - 3)\).
Vector pháp tuyến của \(({\alpha _2})\): \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = ( - 2, - 4,6)\).
Ta nhận thấy: \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = - 2 \cdot \overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} \), do đó \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) cùng phương.
Suy ra hai mặt phẳng song song.
b)
Vector pháp tuyến của \(({\beta _1})\): \(\overrightarrow {{n_{{\beta _1}}}} = (1,0,2)\).
Vector pháp tuyến của \(({\beta _2})\): \(\overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}} = (4, - 3, - 2)\).
Tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{n_{{\beta _1}}}} \cdot \overrightarrow {{n_{{\beta _2}}}} = 1 \cdot 4 + 0 \cdot ( - 3) + 2 \cdot ( - 2) = 4 - 4 = 0\)
Suy ra hai mặt phẳng vuông góc.
c)
Vector pháp tuyến của \(({\gamma _1})\): \(\overrightarrow {{n_{{\gamma _1}}}} = (1, - 2,1)\).
Vector pháp tuyến của \(({\gamma _2})\): \(\overrightarrow {{n_{{\gamma _2}}}} = (2, - 4,3)\).
Tỉ lệ giữa các thành phần của vector là:
\(\frac{2}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = \frac{3}{1}\)
Tích vô hướng:
\(\overrightarrow {{n_{{\gamma _1}}}} .\overrightarrow {{n_{{\gamma _2}}}} = 1.2 + ( - 2).( - 4) + 1.3 = 13 \ne 0\)
Có thể thấy hai vector không cùng phương và cũng không vuông góc.
Suy ra hai mặt phẳng không vuông góc cũng không song song