Giải bài tập 6.18 trang 20 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức
Chiều dài l (mét) của một con lắc đơn tỉ lệ thuận với bình phương chu kì T (giây) của nó (chu kì là thời gian để thực hiện một dao động). Con lắc đơn có chiều dài 223,4cm thì có chu kì 3 giây. a) Tìm công thức liên hệ giữa l và T. b) Tìm chiều dài của con lắc có chu kì 5 giây. c) Chu kì của con lắc có chiều dài 0,98m là bao nhiêu? (Trong tất cả các câu trên, kết quả được tính chính xác đến hàng phần mười).
Đề bài
Cho hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a (cm) và chiều cao 10 cm.
a) Tính diện tích đáy S của hình chóp theo a.
b) Từ kết quả câu a, tính thể tích V của hình chóp theo a và tính giá trị của V khi a = 4 cm.
c) Nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp thay đổi như thế nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Áp dụng định lí Pythagore để tính đường cao của tam giác đều.
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính diện tích đáy.
b) Áp dụng công thức tính thể tích V của hình chóp: \(V = \frac{1}{3}S.h\), S là diện tích đáy, h là chiều cao.
c) Biểu diễn độ dài cạnh đáy mới theo a, diện tích đáy mới theo a. Tính thể tích mới, so sánh với thể tích ban đầu.
Lời giải chi tiết
a) Ta có đáy hình chóp là tam giác đều cạnh a nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
Suy ra đường cao là một cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền là a và cạnh góc vuông còn lại là \(\frac{a}{2}\).
Áp dụng định lí Pythagore, ta có đường cao của đáy là:
\(\sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} =\frac{a\sqrt 3}{2}\)
Diện tích đáy S của hình chóp là:
\(S = \frac{1}{2}.\frac{a\sqrt 3}{2}.a = \frac{a^2\sqrt 3}{4}\)
b) Khi a = 4 cm, ta có: \(S = \frac{4^2\sqrt 3}{4} = 4\sqrt 3\)
Thể tích V của hình chóp là:
\(V = \frac{1}{3}S.h = \frac{1}{3}.4\sqrt 3 . 10 = \frac{40\sqrt 3}{3} \)
c) Độ dài cạnh đáy mới là \(\frac{a}{2}\)
Chiều cao đáy mới là:
h mới \( = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} \)
\(= \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\left( {cm} \right)\).
Diện tích đáy mới là:
S mới \( = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{1}{4}\).S cũ .
Suy ra V mới \( = \frac{1}{3}\).S mới .h\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{4}\).S cũ .h\( = \frac{1}{4}\).V cũ
Vậy nếu độ dài cạnh đáy giảm đi hai lần thì thể tích hình chóp giảm đi 4 lần.