Giải bài tập 6 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 2y + 6z - 11 = 0\), \(\left( Q \right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.\)
Đề bài
Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):4x - 2y + 6z - 11 = 0\), \(\left( Q \right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) của \(\left( P \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\left( R \right)\). Mặt phẳng \(\left( R \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \) của \(\left( Q \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( R \right)\). Như vậy \(\left( R \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} \), suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]\). Từ đó viết được phương trình mặt phẳng \(\left( R \right).\)
Lời giải chi tiết
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4; - 2;6} \right)\) của \(\left( P \right)\) là vectơ chỉ phương của \(\left( R \right).\)
Mặt phẳng \(\left( R \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {2;2;2} \right)\) của \(\left( Q \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(\left( R \right).\)
Như vậy \(\left( R \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4; - 2;6} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {2;2;2} \right)\), suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( R \right)\) là
\(\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {\left( { - 2} \right).2 - 6.2;6.2 - 4.2;4.2 - \left( { - 2} \right).2} \right) = \left( { - 16;4;12} \right)\)
Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) là
\( - 16\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) + 12\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + y + 3z + 5 = 0.\)