Giải bài tập 6 trang 42 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo — Không quảng cáo

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ đi qua điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( P \right):4x - 2y + 6z - 11 = 0$, $\left( Q \right):2x + 2y + 2z - 7 = 0.$

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng $\left( R \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {4; - 2;6} \right)$ của $\left( P \right)$ là vectơ chỉ phương của $\left( R \right).$

Mặt phẳng $\left( R \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {2;2;2} \right)$ của $\left( Q \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\left( R \right).$

Như vậy $\left( R \right)$ có một cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {4; - 2;6} \right)$ và $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}}  = \left( {2;2;2} \right)$, suy ra một vectơ pháp tuyến của $\left( R \right)$ là

$\overrightarrow {{n_{\left( R \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {\left( { - 2} \right).2 - 6.2;6.2 - 4.2;4.2 - \left( { - 2} \right).2} \right) = \left( { - 16;4;12} \right)$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( R \right)$ là

$- 16\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) + 12\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 4x + y + 3z + 5 = 0.$